Quelques aspects des Mathématiques de l'Enseignement Supérieur
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NOUVEAU
La théorie du degré vue du côté Fourier. NOUVEAU Article soumis pour publication. Une
présentation est disponible ici. La prépublication est disponible ici. Cet article donne un aperçu de la théorie du degré
pour une application du cercle unité de C dans lui-même. Les résultats
présentés ici ne sont pas encore très connus. En effet, ce n'est qu'en 1996
après un congrès en l'honneur de I.M. Gelfand que H. Brézis a donné sa jolie
formule exprimant le degré d'une application du cercle unité dans lui-même, à
partir des modules de ses coefficients de Fourier, sous certaines conditions
de régularité. C'est cette formule qui a motivé les travaux récents
que présente mon article et, comme vous pourrez le constater nous
n'utiliserons que des outils relativement élémentaires. Voici le plan de cet article. Nous donnons tout d'abord la démonstration de la
formule de Brézis lorsque la fonction est de classe C^1. C'est un joli
exercice qui n'utilise que le théorème de relèvement et le théorème de
Parseval. (Les versions qui figurent actuellement au programme de classes
préparatoires MP suffisent.) Ensuite, nous démontrons un théorème de relèvement
qui permet de définir le degré d'une fonction continue. Après nous établissons que la formule de Brézis
reste valide pour une fonction continue qui appartient aussi à un espace de
Sobolev fractionnaire d'exposant 1/2. Enfin, nous démontrons une autre formule pour le
degré d'une fonction höldérienne d'ordre oméga strictement supérieur à 1/3 .
Il s'agit d'un théorème de Jean-Pierre Kahane très récent dont la démonstration,
très astucieuse, n'est pas trop difficile. |
Contact : pbeaugendre (at) ifrance (point) com ou pascal.beaugendre (at)
laposte (point) net
Je vous souhaite la bienvenue sur ce
petit site consacré essentiellement aux mathématiques de l'enseignement
supérieur. Je m’appelle Pascal BEAUGENDRE et je suis enseignant dans une classe
préparatoire. Une partie de ce site contient des éléments pouvant servir à des
étudiants de cpge.
Ici, je vous invite surtout à une visite des mathématiques qui me passionnent au travers d'un aperçu du domaine dans lequel j'ai travaillé depuis le commencement de ma thèse. (Elle a été soutenue en février 2002.)
La
façon la plus directe d'entrer dans ce domaine est de lire le texte de la
conférence que j'ai donnée lors du congrès
«Functional Analysis and Partial Differential Equations» de Han-sur-Lesse, en
juin 2004.
Ce
texte, en anglais, est disponible ici.
Tous mes
travaux tournent autour du théorème de Whitney et de ses versions ultradifférentiables. Certaines parties de cette longue histoire sont
accessibles à des non-spécialistes. J'ai
d'ailleurs écrit en récemment, un article pour la revue de la filière
mathématiques (l'ancienne RMS). Il peut être abordé avec des connaissances de Mathématiques Spéciales.
La
prépublication est disponible ici.
Pour faire
connaître cette branche des mathématiques à un large publique, j’ai aussi écrit
un article intitulé Une version ultradifférentiable du théorème de Borel.
L'énoncé du théorème de Borel classique est donné ici. Il suggère la question
suivante : si la suite de réels u vérifie des «conditions de croissance», peut-on
construire une fonction f, de classe C-infini sur R, vérifiant 
et dont les dérivées vérifient des «conditions
de croissance analogues» ? En d'autre termes, on s'intéresse aux versions
ultradifférentiables du théorème de Borel.
Cet article a été publié mais la prépublication
disponible ici.
Le lien suivant vous donnera le texte d'un exposé datant de 2001. Bien
que beaucoup moins détaillé est accessible est lui aussi assez accessible. Il
présente des résultats de H.-J. Petzsche. (Ces résultats sont de remarquables
versions ultradifférentiables du théorème de Borel.)
Pour ceux
qui voudraient une présentation sans démonstrations des résultats les plus
récents concernant ces problèmes, j'ai écrit un «survey» sur les théorèmes de type Whitney dans des intersections de
classes ultradifférentiables (Bulletin de la Société Royale des Sciences de
Liège, vol 73, 2-3, 2004). (Le résumé est disponible ici.)
Maintenant, je m'adresse à ceux qui souhaitent voir les démonstrations de mes résultats. Il va falloir qu'ils piochent dans la liste de publications suivante.
- Une première note aux
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences : Extensions de jets dans des
intersections de classes non quasi-analytiques. (C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 331,
(2000), 25-30). (Le résumé est disponible ici.)
- Un article dans les "Annales Polonici
Mathematici" : Extensions de jets dans des intersections de classes non
quasi-analytiques. Ann. Polon. Math. 76 (2001). (Le résumé est disponible ici.)
- Ma thèse Intersections de classes non
quasi-analytiques. Publiée par l’Université d’Orsay en 2002. (Le résumé et
le texte intégral sont disponibles ici et ici)
- Une seconde note aux Comptes Rendus de l'Académie
des Sciences : Opérateurs linéaires continus d'extension dans des
intersections de classes ultradifférentiables. (C. R. Acad. Sci. Paris, Série. I 338 (2004), 197-202). (Le résumé est
disponible ici.)
- Opérateurs d'extension linéaires explicites dans
des intersections de classes ultradifférentiables (Math. Nachr. septembre
2006). (Le résumé est disponible ici ; la
prépublication, légèrement différente de l'article publié est disponible au
format pdf ici.)
Pour
terminer cette liste d’articles, je cite deux articles qui concernent ces
questions.
V.
Thilliez, Quelques propriétés de quasi-analyticité. Gazette des Mathématiciens
70 (1996), 49-68.
J. Chaumat Quelques aspects
de l'analyse différentielle des classes ultra-différentiables.
Pour compléter ce tour d'horizon des mathématiques sur lesquelles j'ai travaillé, il faudra que je mette en ligne les textes de quelques exposés plus anciens. Un seul est disponible pour l’instant.
Contact : pbeaugendre (at) ifrance (point) com ou pascal.beaugendre (at)
laposte (point) net
Récapitulatif des liens proposés.
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Disponibilité |
Public |
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Page proposant surtout des sujets posés en ECE. |
CPGE ECE, ECS, BCPST, BL |
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Le théorème de Borel dans des classes de fonctions ultradifférentiables. Exposé
pour le séminaire des doctorants du Mercredi 28 Mars 2001. fichier pdf |
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Conférence donnée lors du congrès
«Functional Analysis and Partial Differential Equations» de Han-sur-Lesse en
juin 2004. fichier pdf |
Texte intégral. |
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P. Beaugendre, Extensions de jets dans des intersections de classes
non quasi-analytiques. C. R.
Acad. Sci. Paris, Série I, 331, (2000), 25-30. site de la
revue |
Cet article a été publié. Le texte intégral se trouve dans les
bibliothèques de recherche. |
Bac + 5,
recherche |
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P. Beaugendre, Extensions de jets dans des intersections de classes
non quasi-analytiques. Ann. Polon. Math. 76 (2001) site de la
revue |
Cet article a été publié. Le texte intégral se trouve dans les
bibliothèques de recherche. |
Bac + 5,
recherche |
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P. Beaugendre, Intersections de classes non quasi-analytiques.
Thèse, Orsay (2002). |
Texte intégral disponible ici |
Bac + 5,
recherche. |
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P. Beaugendre, Opérateurs linéaires continus d'extension dans des
intersections de classes ultradifférentiables. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004). site de la
revue |
Cet article a été publié. Le texte intégral se trouve dans les
bibliothèques de recherche. |
Bac + 5,
recherche. |
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P. Beaugendre, Opérateurs d'extension linéaires explicites dans des
intersections de classes ultradifférentiables (Math. Nachr. septembre
2006.). |
La prépublication, légèrement différente de l'article est disponible ici. |
Bac + 5,
recherche |
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P. Beaugendre, Théorèmes de type Whitney dans des intersections de
classes ultradifférentiables. Bulletin de la Société Royale des Sciences
de Liège, Vol. 73, 2-3, (2004). |
Cet article a été publié. Le texte intégral se trouve dans les
bibliothèques de recherche et je ne mets en ligne que le résumé ici NOUVEAU : le texte intégral est sur le site de la
revue ICI |
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P. Beaugendre, Un opérateur d'extension linéaire explicite. |
Cet article a été publié dans la RMS en novembre 2005. Cette revue est
disponible dans la plupart des CDI Voici un lien vers le site de cette
revue : RMS La prépublication
est disponible ici. |
CPGE MP
et MP* ; Licence ; Agrégation. En fait cet article pourrait être
utilisé pour la préparation des étudiants à l'épreuve d'ADS. |
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P. Beaugendre, Une version ultradifférentiable du théorème de
Borel. |
Cet article a été publié dans la RMS en janvier 2007. Cette revue est
disponible dans la plupart des CDI Voici un lien vers le site de cette
revue : RMS Prépublication
disponible ici. |
CPGE MP
et MP* ; Licence ; Agrégation. En
fait cet article pourrait être utilisé pour la préparation des étudiants à
l'épreuve d'ADS. |
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NOUVEAU NOUVEAU NOUVEAU P. Beaugendre, La théorie du degré vue du côté Fourier. NOUVEAU NOUVEAU NOUVEAU |
Article soumis pour publication. Une
présentation est disponible ici. La prépublication est disponible ici. |
CPGE MP
et MP* ; Licence ; Agrégation. En
fait cet article pourrait être utilisé pour la préparation des étudiants à
l'épreuve d'ADS. |
Contact : pbeaugendre (at) ifrance (point) com ou pascal.beaugendre (at)
laposte (point) net